Lời giải:

Để cho đẹp, đổi \((xy,yz,xz)\mapsto (a,b,c)\) suy ra \(a+b+c=1\)

BĐT cần chứng minh tương đương với :

\(A=\frac{1}{a+b+c+a+\frac{bc}{a}}+\frac{1}{a+b+c+b+\frac{ac}{b}}+\frac{1}{a+b+c+c+\frac{ab}{c}}\leq \frac{9}{5}\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{a}{2a^2+ab+bc+ac}+\frac{b}{2b^2+ab+bc+ac}+\frac{c}{2c^2+ab+bc+ac}\leq \frac{9}{5}\)

\(\Leftrightarrow A=\sum \frac{a(ab+bc+ca)}{2a^2+ab+bc+ac}\leq \frac{9(ab+bc+ac)}{5}\)

Để ý rằng \(A=\sum \left ( a-\frac{2a^3}{2a^2+ab+bc+ac} \right )=1-\sum \frac{2a^3}{2a^2+ab+bc+ac}\)

Cauchy-Schwarz:

\(\sum \frac{2a^3}{2a^2+ab+bc+ac}=\sum \frac{2a^4}{2a^3+a^2b+abc+a^2c}\geq \frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^3+b^3+c^3)+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(a+c)+3abc}\)

Giờ đặt \(ab+bc+ac=q,abc=r\)

Phân tích:

\(2(a^3+b^3+c^3)+\sum ab(a+b)+3abc=2(a^3+b^3+c^3-3abc)+(a+b+c)(ab+bc+ac)+6abc\)

\(=2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)+ab+bc+ac+6abc\)

\(=2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ac)+6abc=2-5q+6r\)

Do đó \(A\leq 1-\frac{2(1-2q)^2}{2-5q+6r}\). Giờ chỉ cần chỉ ra \(1-\frac{2(1-2q)^2}{2-5q+6r}\leq \frac{9q}{5}\Leftrightarrow q(3-5q)+6r(9q-5)\geq 0\)

Theo AM-GM dễ thấy

\(q^2=(ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)=3r\)

Và \(1=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow q\leq \frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow 9q-5<0\rightarrow 6r(9q-5)\geq 2q^2(9q-5)\) (đổi dấu)

\(\Rightarrow q(3-5q)+6r(9q-5)\geq q(3-5q)+2q^2(9q-5)=q(2q-1)(3q-1)\geq 0\)

BĐT trên hiển nhiên đúng vì \(q\leq \frac{1}{3}<\frac{1}{2}\Rightarrow (2q-1)(3q-1)\geq 0\)

Chứng minh hoàn tất.

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

P/s: Làm BĐT bần cùng lắm mới xài pqr, không ngờ phải xài thật :)

Sao tag éo dc :|

Akai HarumaNguyễn Huy ThắngTrần Việt LinhHoàng Lê Bảo Ngọc

(x+y+z)²=x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)

→ x²+y²+z²=(1/2)²-2.(-2)=17/4

(x+y+z)³=x³+y³+z³+3(x+y)(y+z)(z+x)

=x³+y³+z³+3(x+y+z)(xy+yz+zx)-3xyz

→ x³+y³+z³=(1/2)³+3.(-1/2)-3.1/2.(-2)=13/8

(xy+yz+zx)²=x²y²+y²z²+z²x²+2xyz(x+y+z)

→ x²y²+y²z²+z²x²=(-2)²-2.1/2.(-1/2)=9/2

(x²+y²+z²)(x³+y³+z³)=x^5+y^5+z^5+(x²y²+y²z²+z²x²)(x+y+z)-xyz(xy+yz+zx)

→ x^5+y^5+z^5=17/4.13/8+(-2).(-1/2)-9/2.1/2=181/32

\(\dfrac{x-y}{z^2+1}=\dfrac{x-y}{z^2+xy+yz+zx}=\dfrac{x-y}{z\left(z+y\right)+x\left(z+y\right)}=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}\)

Tương tự: \(\dfrac{y-z}{x^2+1}=\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\);\(\dfrac{z-x}{y^2+1}=\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)

Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT=\dfrac{x-y}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{y-z}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\dfrac{z-x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(y-z\right)\left(y+z\right)+\left(z-x\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)

\(=\dfrac{x^2-y^2+y^2-z^2+z^2-x^2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=0\)(đpcm)

Đề bài thiếu điều kiện rồi :")))

thêm điều kiện đi rồi giải cho

x+y+z=3

xin lỗi mình quên :>>